Kuis 1 MA2151 2021¶

1. Deret Fibonacci $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ adalah yang memenuhi $a_1=1,a_2=1,a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ dengan $n\geq 3$
   • Buatlah algoritma untuk menentukan deret Fibonacci suku ke-n. Contoh diberikan
   • $n=10$, maka keluarannya adalah 55
   • Algoritma dibuat tanpa menggunakan variable berindex/array/list.
2. Buatlah algoritma untuk menghitung $e^x$ dengan menggunakan barisan sampai suatu galat tertentu. $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...$$
   • Fungsi faktorial boleh digunakan
   • Misalkan galat berupa selisih suku ke-(n) dan suku ke-(n-1) kurang dari (10^{-9})
3. Diberikan dua buah vektor $\bar{u}$ dan $\bar{v}$ berukuran $n$.
   • Buatlah algoritma untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
   • Diketahui sudut diantara dua vektor $\bar{u}$ dan $\bar{v}$ adalah $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{|\bar{u}|\ |\bar{v}|}\right)$
   • Tidak boleh menggunakan fungsi numpy.dot atau numpy.norm untuk menghitung perkalian dot dan norm (atau fungsi lainnya). Algortima perkalian dot dan norm harus dibuat sendiri.
   • Fungsi cos invers diperbolehkan.

Pembuatan algoritma harus lengkap, jelas dan dimengerti oleh komputer, serta berikan juga komentar atau penjelasan pada setiap tahapannya.

Jawaban Soal Nomor 1 Algoritma Menentukan Deret Fibonacci Suku Ke-n

• Deskripsi : Algoritma Menentukan Deret FIbonacci Suku Ke-n, tanpa menggunakan variabel berindex/array
• Masukkan : bilangan bulat positif $n \geq 3$
• Keluaran : suku ke-$n$ dari deret Fibonacci.
• Langkah-langkah :
  1. masukkan bilangan bulat-$n$
  2. deklarasikan p= suku pertama deret Fibonacci, p=1
  3. deklarasikan q= suku kedua deret Fibonacci, q=1
  4. untuk setiap $i=\{2,3,...,n\}$ | for i in range(3,n+1)
     • $r=q+p$ #$p$ bertindak sebagai $a_{i-2}$, $q$ bertindak sebagai $a_{i-1}$ dan $r$ adalah suku ke $a_{i}$ dari deret Fibonacci
     • #untuk perhitungan suku berikutnya, yaitu $a_{i+1}=a_{i}+a_{i-1}$ pada iterasi berikutnya,
     • #maka $p$ ditimpa dengan nilai $a_{i-1}$ yaitu $q$, dan $q$ ditimpa dengan nilai $a_{i}$ yaitu $r$
     • $p=q$
     • $q=r$
  5. keluarkan hasilnya | print(r) |print("suku ke-",n," Deret Fibonacci adalah ",r)

In [ ]:

#Program soal nomor 1
print("Program menentukan Deret Fibonacci Suku ke-n")
print("Masukkan suku ke-n yang ingin dicari, dengan n>=3 :")
n=int(input())
p=1
q=1
for i in range(3,n+1):
  r=q+p
  p=q
  q=r
print("suku ke-",n," Deret Fibonacci adalah ",r)

Program menentukan Deret Fibonacci Suku ke-n
Masukkan suku ke-n yang ingin dicari, dengan n>=3 :
10
suku ke- 10  Deret Fibonacci adalah  55

Jawaban Soal Nomor 2 Algoritma menentukan niali $e^x$ dengan mengunakan deret

• Deskripsi : Algoritma menentukan niali $e^x$ dengan mengunakan deret
• Masukkan : masukkan $x$, dan galat yang diinginkan $galat=10^{-9}$
• Keluaran : nilai $e^x$
• Langkah-langkah :
  1. masukkan bilangan real-$x$
  2. masukkan galat $galat=10**(-9)$
  3. deklarasikan variabel untuk menyimpan jumlahan deret $sum=1$, suku pertama langsung dikumlahkan
  4. deklarasikan $i=0$ sebagai index suku pertama deret
  5. deklarasikan index iterasi, iter=1
  6. deklarasikan maksimum iterasi untuk penghenti apabila program terlalu lama, max_iter=100000
  7. deklarasikan variabel boolean untuk masuk kedalam iterasi while, masuk=True
  8. ketika/while masuk=True and iter<=max_iter:
     1. Hitung $p=(x**i)/faktorial(i)$ #suku ke i
     2. Hitung $q=(x**(i+1))/faktorial(i+1)$ #suku ke i+1
     3. jika abs(p-q)< galat :
        • sum=sum+q #jumlahkan deretnya
     4. jika tidak (else):
        • masuk=False #untuk menghentikan iterasi
     5. i=i+1 #untuk menghitung suku berikutnya
     6. iter=iter+1 #untuk menandakan banyak iterasi yang sudah dilakukan
  9. Jika iter<=max_iter:
     • keluarkan hasilnya | print(sum) |print("hampirkn exp(",x,") sampai suku ke-",i-1,"adalah",sum)
  10. jika tidak (else):
      • keluarkan bahwa sampai iterasi sebanyak max_iter, belum didapatkan hampiran deret yang baik.
      • print("hampiran exp(",x,") sampai suku ke-",i-1,"adalah",sum," dengan kondisi galat=",abs(p-q))

In [ ]:

def faktorial(n):  
    return 1 if (n==1 or n==0) else n * faktorial(n - 1);

In [ ]:

#Program soal nomor 2
print("Algoritma menentukan nilai  exp(x) dengan mengunakan deret")
print("Masukkan x=")
x=float(input())
print("Masukkan galat perhitungan=")
galat=float(input())
sum=1
iter=1
max_iter=100000
masuk=True
while masuk==True and iter<=max_iter:
  p=x**i/faktorial(i)
  q=x**(i+1)/faktorial(i+1)
  if abs(p-q)>galat:
    iter
    sum=sum+q
  else:
    masuk=False
  i=i+1
  iter=iter+1

if iter<=max_iter:
  print("hampiran exp(",x,") sampai suku ke-",i-1,"adalah",sum)
else:
  print("hampiran exp(",x,") sampai suku ke-",i-1,"adalah",sum," dengan kondisi galat=",abs(p-q))

Algoritma menentukan niali  exp(x) dengan mengunakan deret
Masukkan x=
0
Masukkan galat perhitungan=
0.1
hampiran exp( 0.0 ) sampai suku ke- 2 adalah 1

Jawaban Soal Nomor 3 Algoritma menghitung sudut antara 2 vektor

• Deskripsi : Algoritma menghitung sudut antara 2 vektor
• Masukkan : masukkan ukuran vektor $n$, masukkan 2 vektor
• Keluaran : sudut terkecil antara 2 vektor
• Langkah-langkah :
  1. masukkan ukuran vektor $n$
  2. masukkan elemen-elemen vektor pertama (boleh juga dimasukkan secara manual/random)
     • deklarasikan u=[] #list kosong
     • for i in range(n):
       • print("masukkan elemen vektor u ke-",i+1)
       • a=float(input())
       • u.append(a)
  3. masukkan elemen-elemen vektor kedua (boleh juga dimasukkan secara manual/random)
     • deklarasikan v=[] #list kosong
     • for i in range(n):
       • print("masukkan elemen vektor v ke-",i+1)
       • a=float(input())
       • v.append(a)
  4. Hitung panjang vektor u
     • panjang_u=0
     • for i in range(n):
       • panjang_u=panjang_u+u[i]**2
     • panjang_u=(panjang_u)**(1/2)
  5. Hitung panjang vektor V
     • panjang_v=0
     • for i in range(n):
       • panjang_v=panjang_v+v[i]**2
     • panjang_v=(panjang_v)**(1/2)
  6. Hitung perkalian fot vektor u dan v
     • dot=0
     • for i in range(n):
       • dot=dot+u[i]*v[i]
  7. cos=dot/(panjang_u*panjang_v)
  8. teta=inv(cos)
  9. print("sudut terkecil yang dibentuk vektor u dan v adalah",teta)

In [ ]:

import math
#Program soal nomor 3
print("Algoritma menentukan sudut antara 2 vektor u dan v")
print("Masukkan ukuran vektor n=")
n=int(input())
u=[]
for i in range(n):
  print("Masukkan elemen vektor u ke-",i+1)
  a=float(input())
  u.append(a)
v=[]
for i in range(n):
  print("Masukkan elemen vektor v ke-",i+1)
  a=float(input())
  v.append(a)
panjang_u=0
for i in range(n):
  panjang_u=panjang_u+u[i]**2
panjang_u=panjang_u**(1/2)

panjang_v=0
for i in range(n):
  panjang_v=panjang_v+v[i]**2
panjang_v=panjang_v**(1/2)

dot=0
for i in range(n):
  dot=dot+u[i]*v[i]

cos=dot/(panjang_u*panjang_v)
teta=math.acos(cos)
print("sudut terkecil yang dibentuk vektor u dan v adalah",teta)

Algoritma menentukan sudut antara 2 vektor u dan v
Masukkan ukuran vektor n=
3
Masukkan elemen vektor u ke- 1
1
Masukkan elemen vektor u ke- 2
2
Masukkan elemen vektor u ke- 3
3
Masukkan elemen vektor v ke- 1
4
Masukkan elemen vektor v ke- 2
5
Masukkan elemen vektor v ke- 3
6
sudut terkecil yang dibentuk vektor u dan v adalah 0.2257261285527342

In [ ]:

#Soal nomor 4
#Program mengurutkan 3 buah bilangan bulat dari terkecil ke terbesar
#Penukaran nilai variabel dilakukan ...
  #...tanpa menggunakan variabel tambahan/sementara
A=2;B=6;C=1 #deklarasi variabel
print("Saat ini nilai A=",A,",B=",B,"C=",C)
print("Akan ditukar sehingga nilai A adalah terkecil dan C adalah terbesar")
if ...(1):
  A=A+C
  C=A-C
  A=A-C
  if A>=B:
    ...(2)
    ...(3)
    ...(4)
elif B>=A and B>=C:
  ...(5)
  ...(6)
  ...(7)
  if ...(8):
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
else:
  if A>=B:
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
print("Setelah diurutkan nilai A=",A,",B=",B,"C=",C)

Saat ini nilai A= 2 ,B= 6 C= 1
Akan ditukar sehingga nilai A adalah terkecil dan C adalah terbesar
Setelah diurutkan nilai A= 1 ,B= 2 C= 6

In [ ]:

#Jawaban soal nomor 4
#Program mengurutkan 3 buah bilangan bulat dari terkecil ke terbesar
#Penukaran nilai variabel dilakukan ...
  #...tanpa menggunakan variabel tambahan/sementara
A=2;B=6;C=1 #deklarasi variabel
print("Saat ini nilai A=",A,",B=",B,"C=",C)
print("Akan ditukar sehingga nilai A adalah terkecil dan C adalah terbesar")
if A>=B and A>=C:
  A=A+C
  C=A-C
  A=A-C
  if A>=B:
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
elif B>=A and B>=C:
  B=B+C
  C=B-C
  B=B-C
  if A>=B:
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
else:
  if A>=B:
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
print("Setelah diurutkan nilai A=",A,",B=",B,"C=",C)

Saat ini nilai A= 2 ,B= 6 C= 1
Akan ditukar sehingga nilai A adalah terkecil dan C adalah terbesar
Setelah diurutkan nilai A= 1 ,B= 2 C= 6