Aljabar Python

-

Python dapat mengoprasikan Aljabar dengan bantuan library numpy.
Sedikit operasi vektor dan matriks yang penting diketahui

In [1]:
import numpy as np
import math

Vektor

Penting :
Bedakan ketika menulis u=[1,2,3] dan u=np.array([1,2,3])
yang pertama adalah list, yang kedua adalah vektor
Tampilan vektor pada python selalu tertulis menyamping, walaupun kita tambahkan transpose, tampilan akan tetap menyamping. Hal ini sangat penting dan harus berhati-hati.

u=np.array([1,2,3]) artinya $\mathbb{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$, tampilan pada python u= [1 2 3]
np.transpose(u)=$\mathbb{u}^T=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$, tampilan pada python u= [1 2 3]

In [2]:
u=[1,2,3] #ini adalah list, bukan vektor
v=[4,5,6] #ini adalah list, bukan vektor
print("List u=",u)
print("List v=",v)
print("Penjumlahan list : u+v =",u+v)
#print("Perkalian Hadamard Vektor : u*v =",u*v) #jika baris ini dijalankan, akan error
#print("Perkalian dot vektor : u@v =",u@v) #jika baris ini dijalankan, akan error

List u= [1, 2, 3]
List v= [4, 5, 6]
Penjumlahan list : u+v = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
In [3]:
u=np.array([1,2,3]) #Ini adalah vektor
v=np.array([4,5,6]) #Ini adalah vektor
print("Vektor u=",u)
print("Vektor v=",v)
print("Penjumlahan vektor : u+v =",u+v)
print("Perkalian Hadamard Vektor : u*v =",u*v)
print("Perkalian dot vektor : u@v =",u@v)
print("Perkalian dot vektor : np.dot(u,v) =",np.dot(u,v))

Vektor u= [1 2 3]
Vektor v= [4 5 6]
Penjumlahan vektor : u+v = [5 7 9]
Perkalian Hadamard Vektor : u*v = [ 4 10 18]
Perkalian dot vektor : u@v = 32
Perkalian dot vektor : np.dot(u,v) = 32

Perkalian vektor pada python.
Misalkan $\mathbb{u}=\begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$ dan $\mathbb{v}=\begin{bmatrix}v_1 \\v_2 \\\vdots\\v_n\end{bmatrix}$
Perkalian Hadamard dengan syntax $\mathbb{u}*\mathbb{v}$ akan menghasilkan $\mathbb{u}*\mathbb{v}=\begin{bmatrix}u_1v_1 \\u_2v_2 \\\vdots\\u_nv_n\end{bmatrix}$
Perkalian dot vektor syntax $\mathbb{u}$@$\mathbb{v}$ akan menghasilkan $\mathbb{u}$@$\mathbb{v}=u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n$
Perkalian dot vektor syntax np.dot(u,v) akan menghasilkan np.dot(u,v)$=u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n$

In [4]:
print("Panjang vektor u : |u|=",math.sqrt(u[0]**2+u[1]**2+u[2]**2))
print("Panjang vektor u : |u|=",math.sqrt(u@u))
print("Panjang vektor u : |u|=",np.linalg.norm(u))
w=np.cross(u,v)
print("Perkalian silang vektor : w=np.cross(u,v) =",w)
print("Cek ortogonal u@w =",u@w)

Panjang vektor u : |u|= 3.7416573867739413
Panjang vektor u : |u|= 3.7416573867739413
Panjang vektor u : |u|= 3.7416573867739413
Perkalian silang vektor : w=np.cross(u,v) = [-3  6 -3]
Cek ortogonal u@w = 0

Matriks

In [5]:
A=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print("A =",A)
print("A^T =",np.transpose(A))

A = [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
A^T = [[1 4 7]
 [2 5 8]
 [3 6 9]]

Perkalian matriks pada python.
Misalkan $\mathbb{u}=\begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$ dan $\mathbb{A}=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}$


Perkalian Hadamard dengan syntax $\mathbb{u}*\mathbb{A}$ atau $\mathbb{A}*\mathbb{u}$ akan menghasilkan $\mathbb{u}*\mathbb{A}=\mathbb{A}*\mathbb{u}=\begin{bmatrix}u_1a_{1,1}&u_1a_{1,2}&\cdots&u_1a_{1,n} \\u_2a_{2,1}&u_2a_{2,2}&\cdots&u_2a_{2,n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\u_na_{n,1}&u_na_{n,2}&\cdots&u_na_{n,n}\end{bmatrix}$
Perkalian dot dengan syntax $\mathbb{u}$@$\mathbb{A}$ atau np.dot(u,A) yang artinya $\mathbb{u}^T\mathbb{A}$ akan menghasilkan

$\mathbb{u}$@$\mathbb{A}=$np.dot(u,A)$=\begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1a_{1,1}+u_2a_{2,1}+\cdots+u_na_{n,1} &u_2a_{1,2}+u_2a_{2,2}+\cdots+u_na_{n,2} &\cdots &u_na_{1,n}+u_2a_{2,n}+\cdots+u_na_{n,n}\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}\sum_{i=1}^{n}u_ia_{i,1} &\sum_{i=1}^{n}u_ia_{i,2}&\cdots&\sum_{i=1}^{n}u_ia_{i,n}\end{bmatrix}$


Perkalian dot dengan syntax $\mathbb{A}$@$\mathbb{u}$ atau np.dot(A,u) yang artinya $\mathbb{A}\mathbb{u}$ akan menghasilkan

$\mathbb{A}$@$\mathbb{u}=$np.dot(A,u)$=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1}u_1+a_{1,2}u_2+\cdots+a_{1,n}u_n \\a_{2,1}u_1+a_{2,2}u_2+\cdots+a_{2,n}u_n \\\vdots \\a_{n,1}u_1+a_{n,2}u_2+\cdots+a_{n,n}u_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_{i=1}^{n}a_{1,i}u_i \\\sum_{i=1}^{n}a_{2,i}u_i\\\vdots\\\sum_{i=1}^{n}a_{n,i}u_i\end{bmatrix}$

In [6]:
print("Perkalian Hadamard u*A =",u*A)
print("Perkalian Hadamard A*u =",A*u)
print("Perkalian dot vektor u dengan A =",u@A)
print("Perkalian dot vektor u dengan A =",np.dot(u,A))
print("Perkalian dot vektor A dengan u =",A@u)
print("Perkalian dot vektor A dengan u =",np.dot(A,u))

Perkalian Hadamard u*A = [[ 1  4  9]
 [ 4 10 18]
 [ 7 16 27]]
Perkalian Hadamard A*u = [[ 1  4  9]
 [ 4 10 18]
 [ 7 16 27]]
Perkalian dot vektor u dengan A = [30 36 42]
Perkalian dot vektor u dengan A = [30 36 42]
Perkalian dot vektor A dengan u = [14 32 50]
Perkalian dot vektor A dengan u = [14 32 50]

Determinan Matriks
Misalkan $\mathbb{B}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

In [7]:
B=np.array([[1,2],[3,4]])
print("Determinan matriks B =",np.linalg.det(B))

Determinan matriks B = -2.0000000000000004

Invers Matriks

In [8]:
print("Invers matriks B =",np.linalg.inv(B))

Invers matriks B = [[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

Nilai dan Vektor Eigen Matriks

In [9]:
val,vec=np.linalg.eig(B)
print("Nilai eigen matriks B",val)
print("Nilai eigen pertama matriks B",val[0])
print("Nilai eigen kedua matriks B",val[1])
print("Vektor eigen matriks B",vec)
print("Vektor eigen pertama matriks B",vec[0])
print("Vektor eigen kedua matriks B",vec[1])

Nilai eigen matriks B [-0.37228132  5.37228132]
Nilai eigen pertama matriks B -0.3722813232690143
Nilai eigen kedua matriks B 5.372281323269014
Vektor eigen matriks B [[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]
Vektor eigen pertama matriks B [-0.82456484 -0.41597356]
Vektor eigen kedua matriks B [ 0.56576746 -0.90937671]

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Fungsi Rekursif

-
Fungsi Rekursif ¶ Fungsi yang memanggil dirinya sendiri untuk melakukan perhitungan Faktorial Misalkan $f(n)$ menyatakan faktorial dari $n$, dengan $n$ adalah bilangan bulat lebih dari 1. Maka $f(n)=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ...\times 1$ Bisa juga dituliskan dalam bentuk rekursif, yaitu $f(n)=n\times f(n-1)$ Contoh : $f(5)=5\times 4\times 3\times 2\times 1$ $f(5)=5 \times f(4)$ $f(4)=4 \times f(3)$ $f(3)=3 \times f(2)$ $f(2)=2 \times f(1)$ In [1]: #Menghitung faktorial dari n, TANPA fungsi dan tanpa rekursif print ( "Masukkan bilangan bulat lebih dari 1 yang akan dihitung faktorialnya" ) n = int ( input ()) if ( n == 0 or n == 1 ): hasil = 1 else : hasil = n print ( "n saat ini =" , n , "-hasil saat ini" , hasil ) while n >= 2 : n = n - 1 hasil = hasil * n print ( "n saat ini =" , n , "-hasil saat ini" ,
Read more

Pengolahan Matriks (manual)

-
Pengolahan Matriks dan Vektor ¶ Pada tulisan berikut, akan diberikan contoh algoritma dan program untuk mengolah matriks dan vektor tanpa menggunakan library atau fungsi yang sudah tersedia. Transpose Matriks ¶ Misalkan matriks $A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\end{bmatrix}$ Transpose dari matriks $A$ adalah $A^T=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\cdots&a_{m,1} \\a_{1,2}&a_{2,2}&\cdots&a_{m,2} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\a_{1,n}&b_{2,n}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}$, atau $B=\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\cdots&b_{1,m} \\b_{2,1}&b_{2,2}&\cdots&b_{2,m} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\cdots&b_{n,m}\end{bmatrix}$ , untuk setiap $i\in\{1,2,...,m\}$ dan $j\in\{1,2,..
Read more

Metode Penalti

-
Metode Penalti ¶ --Catatan kuliah MA3071 20210802 Minimumkan $𝑓(𝐱)$ terhadap kendala $𝐱∈𝑆$ Dengan $𝑓$ merupakan fungsi yang kontinu pada $ℝ^𝑛$ dan $𝑆$ adalah himpunan kendala $𝑆=\{𝑥:h_i(𝐱)= 0,i=1,2,...,m\}$ Ide dari Metode penalti adalah mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi masalah optimisasi tanpa kendala, Kendala tersebut dikalikan dengan suatu konstanta positif (yang membesar) sehingga berfungsi menjadi suatu penalti pada masalah meminimumkan. Masalah dimodifikasi menjadi : Minimumkan $𝑓(𝐱)+𝑐𝑃(𝐱)$ Dengan $𝑐$ suatu konstanta positif dan $𝑃(𝐱)$ adalah fungsi pada $ℝ^𝑛$ yang memenuhi $𝑃(𝐱)$ fungsi kontinu $𝑃(𝐱)≥0$ untuk semua $𝐱∈ℝ^𝑛$ Biasanya dipilih fungsi penalti $\displaystyle 𝑃(𝐱)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}[ℎ_i(\mathbf{𝑥})]^2$ $𝑃(𝐱)=0$ jika dan hanya jika $𝐱∈𝑆$ Contoh ¶ Minimumkan $$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$$ Terhadap kendala $x_1+x_2-1=0$ =====================
Read more