Masalah Transportasi Jaringan

-

Pengenalan Optimisasi Jaringan

Masalah Transportasi

In [1]:
#Install library Mixed Integer Programming sebagai tools yang digunakan dalam workshop ini
!pip install mip #Apabila library mip sudah terinstall, berikan comment (tanda #) sebelum !pip
import mip #memanggil library Mixed Integer Programminh
import numpy as np #memanggil library Numerical Python

Using Python-MIP package version 1.6.4

Contoh 1

Terdapat 4 buah pabrik yang memiliki kapasitas produksi 30,80,10, dan 60
Terdapat 5 orang penjual yang meminta barang sejumlah 10,50,20,80, dan 20.
Biaya pengiriman barang dari satu pabrik ke penjual bisa berbeda. (terlampir pada matriks C pada gambar)
Tentukan biaya minimum untuk mengirimkan barang ! image.png

Formulasi Contoh 1 :

Misalkan :

  • $x_{i,j}$ merupakan banyaknya barang yang dikirimkan dari pabrik $i$ ke penjual $j$
  • $c_{i,j}$ merupakan biaya antar barang yang dikirimkan dari pabrik $i$ ke penjual $j$

dengan $i\in\{0,1,2,3\}$ dan $j\in\{0,1,2,3,4\}$ (indeks pada python dimulai dari nol)

Minimumkan biaya pengantaran : $$f(\mathbb{x})=c_{0,0}x_{0,0}+c_{0,1}x_{0,1}+c_{0,2}x_{0,2}+...+c_{3,4}x_{3,4}$$ $$f(\mathbb{x})=\sum_{j=0}^4\sum_{i=0}^3 c_{i,j}x_{i,j}$$

Kendala 1 - setiap pabrik mengirimkan barang sesuai kapasitas produksinya :

  • Pabrik ke-0 produksi sebanyak 30 : $x_{0,0}+x_{0,1}+x_{0,2}+x_{0,3}+x_{0,4}=30$
  • Pabrik ke-1 produksi sebanyak 80 : $x_{1,0}+x_{1,1}+x_{1,2}+x_{1,3}+x_{1,4}=80$
  • Pabrik ke-2 produksi sebanyak 10 : $x_{2,0}+x_{2,1}+x_{2,2}+x_{2,3}+x_{2,4}=10$
  • Pabrik ke-3 produksi sebanyak 60 : $x_{3,0}+x_{3,1}+x_{3,2}+x_{3,3}+x_{3,4}=60$

Kendala 2 - setiap penjual menerima sesuai dengan permintaannya :

  • Penjual ke-0 meminta 10 barang : $x_{0,0}+x_{1,0}+x_{2,0}+x_{3,0}=10$
  • Penjual ke-1 meminta 50 barang : $x_{0,1}+x_{1,1}+x_{2,1}+x_{3,1}=10$
  • Penjual ke-2 meminta 20 barang : $x_{0,2}+x_{1,2}+x_{2,2}+x_{3,2}=10$
  • Penjual ke-3 meminta 80 barang : $x_{0,3}+x_{1,3}+x_{2,3}+x_{3,3}=10$
  • Penjual ke-4 meminta 20 barang : $x_{0,4}+x_{1,4}+x_{2,4}+x_{3,4}=10$
In [2]:
#Definisikan matriks cost
cost=np.array([[3,4,6,8,9],
            [2,2,4,5,5],
            [2,2,2,3,2],
            [3,3,2,4,2]])

m = mip.Model("Contoh Masalah Transportasi 1")
x = [[m.add_var(var_type=mip.INTEGER) for j in range(5)] for i in range(4)]

#m.objective = mip.minimize( 3*x[0][0]+ 4*x[0][1]+ 6*x[0][2]+ ... )
m.objective = mip.minimize( mip.xsum(cost[i][j]*x[i][j] for i in range(4) for j in range(5) ) )

#barang yang dikirim sama dengan kapasitas produksi
m += x[0][0]+x[0][1]+x[0][2]+x[0][3]+x[0][4] == 30 # kendala pengiriman dari pabrik 0
m += x[1][0]+x[1][1]+x[1][2]+x[1][3]+x[1][4] == 80 # kendala pengiriman dari pabrik 1
m += x[2][0]+x[2][1]+x[2][2]+x[2][3]+x[2][4] == 10 # kendala pengiriman dari pabrik 2
m += x[3][0]+x[3][1]+x[3][2]+x[3][3]+x[3][4] == 60 # kendala pengiriman dari pabrik 3


#penjual 0 hanya butuh 10
m += x[0][0]+x[1][0]+x[2][0]+x[3][0] == 10
#penjual 1 hanya butuh 50
m += x[0][1]+x[1][1]+x[2][1]+x[3][1] == 50
#penjual 2 hanya butuh 50
m += x[0][2]+x[1][2]+x[2][2]+x[3][2] == 20
#penjual 3 hanya butuh 80
m += x[0][3]+x[1][3]+x[2][3]+x[3][3] == 80
#penjual 4 hanya butuh 20
m += x[0][4]+x[1][4]+x[2][4]+x[3][4] == 20


m.optimize()
print(m.status)
print('minimum dari f objektif =',m.objective_value)

print('Variabel keputusan : ')
for i in range(4): 
    for j in range(5): 
        if(x[i][j].x>=0.5): print("x[",i,",",j,"]=",x[i][j].x,' dan cost[',i,',',j,'] =',cost[i][j])

OptimizationStatus.OPTIMAL
minimum dari f objektif = 610.0
Variabel keputusan : 
x[ 0 , 0 ]= 10  dan cost[ 0 , 0 ] = 3
x[ 0 , 1 ]= 20  dan cost[ 0 , 1 ] = 4
x[ 1 , 1 ]= 30  dan cost[ 1 , 1 ] = 2
x[ 1 , 3 ]= 50  dan cost[ 1 , 3 ] = 5
x[ 2 , 3 ]= 10  dan cost[ 2 , 3 ] = 3
x[ 3 , 2 ]= 20  dan cost[ 3 , 2 ] = 2
x[ 3 , 3 ]= 20  dan cost[ 3 , 3 ] = 4
x[ 3 , 4 ]= 20  dan cost[ 3 , 4 ] = 2

Andaikan penjual 2 ingin menerima minimal 3 barang dari pabrik 1, maka terdapat tambahan kendala $$x_{1,2}\geq 3$$

In [3]:
#Definisikan matriks cost
cost=np.array([[3,4,6,8,9],
            [2,2,4,5,5],
            [2,2,2,3,2],
            [3,3,2,4,2]])

m = mip.Model("Contoh Masalah Transportasi 1")
x = [[m.add_var(var_type=mip.INTEGER) for j in range(5)] for i in range(4)]

#m.objective = mip.minimize( 3*x[0][0]+ 4*x[0][1]+ 6*x[0][2]+ ... )
m.objective = mip.minimize( mip.xsum(cost[i][j]*x[i][j] for i in range(4) for j in range(5) ) )

#barang yang dikirim sama dengan kapasitas produksi
m += x[0][0]+x[0][1]+x[0][2]+x[0][3]+x[0][4] == 30 # kendala pengiriman dari pabrik 0
m += x[1][0]+x[1][1]+x[1][2]+x[1][3]+x[1][4] == 80 # kendala pengiriman dari pabrik 1
m += x[2][0]+x[2][1]+x[2][2]+x[2][3]+x[2][4] == 10 # kendala pengiriman dari pabrik 2
m += x[3][0]+x[3][1]+x[3][2]+x[3][3]+x[3][4] == 60 # kendala pengiriman dari pabrik 3


#penjual 0 hanya butuh 10
m += x[0][0]+x[1][0]+x[2][0]+x[3][0] == 10
#penjual 1 hanya butuh 50
m += x[0][1]+x[1][1]+x[2][1]+x[3][1] == 50
#penjual 2 hanya butuh 50
m += x[0][2]+x[1][2]+x[2][2]+x[3][2] == 20
#penjual 3 hanya butuh 80
m += x[0][3]+x[1][3]+x[2][3]+x[3][3] == 80
#penjual 4 hanya butuh 20
m += x[0][4]+x[1][4]+x[2][4]+x[3][4] == 20

#penjual 2 ingin menerima minimal 3 barang dari pabrik 1
m += x[1][2] >= 3

m.optimize()
print(m.status)
print('minimum dari f objektif =',m.objective_value)

print('Variabel keputusan : ')
for i in range(4): 
    for j in range(5): 
        if(x[i][j].x>=0.5): print("x[",i,",",j,"]=",x[i][j].x,' dan cost[',i,',',j,'] =',cost[i][j])

OptimizationStatus.OPTIMAL
minimum dari f objektif = 613.0
Variabel keputusan : 
x[ 0 , 0 ]= 10  dan cost[ 0 , 0 ] = 3
x[ 0 , 1 ]= 20  dan cost[ 0 , 1 ] = 4
x[ 1 , 1 ]= 30  dan cost[ 1 , 1 ] = 2
x[ 1 , 2 ]= 3  dan cost[ 1 , 2 ] = 4
x[ 1 , 3 ]= 47  dan cost[ 1 , 3 ] = 5
x[ 2 , 3 ]= 10  dan cost[ 2 , 3 ] = 3
x[ 3 , 2 ]= 17  dan cost[ 3 , 2 ] = 2
x[ 3 , 3 ]= 23  dan cost[ 3 , 3 ] = 4
x[ 3 , 4 ]= 20  dan cost[ 3 , 4 ] = 2

Andaikan ada kondisi dimana pabrik 0 tidak bisa mengirimkan barang ke penjual 0.
Kondisi di sini bisa dibagi menjadi 2.

  1. Tidak bisa mengirimkan barang karena akses yang sama sekali tidak ada
    Untuk ini kendala ditambahkan $x_{0,0}=0$
  2. Tidak ingin mengirimkan barang karena biaya yang mahal.
    Untuk ini biaya pengiriman ditambahkan menjadi $c_{0,0}=100000$
In [4]:
#Definisikan matriks cost
cost=np.array([[3,4,6,8,9],
            [2,2,4,5,5],
            [2,2,2,3,2],
            [3,3,2,4,2]])

m = mip.Model("Contoh Masalah Transportasi 1")
x = [[m.add_var(var_type=mip.INTEGER) for j in range(5)] for i in range(4)]

#m.objective = mip.minimize( 3*x[0][0]+ 4*x[0][1]+ 6*x[0][2]+ ... )
m.objective = mip.minimize( mip.xsum(cost[i][j]*x[i][j] for i in range(4) for j in range(5) ) )

#apa yang dikirim harus harus sama dengan kapasitas
m += x[0][0]+x[0][1]+x[0][2]+x[0][3]+x[0][4] == 30 # kendala pengiriman dari pabrik 0
m += x[1][0]+x[1][1]+x[1][2]+x[1][3]+x[1][4] == 80 # kendala pengiriman dari pabrik 1
m += x[2][0]+x[2][1]+x[2][2]+x[2][3]+x[2][4] == 10 # kendala pengiriman dari pabrik 2
m += x[3][0]+x[3][1]+x[3][2]+x[3][3]+x[3][4] == 60 # kendala pengiriman dari pabrik 3


#penjual 0 hanya butuh 10
m += x[0][0]+x[1][0]+x[2][0]+x[3][0] == 10
#penjual 1 hanya butuh 50
m += x[0][1]+x[1][1]+x[2][1]+x[3][1] == 50
#penjual 2 hanya butuh 50
m += x[0][2]+x[1][2]+x[2][2]+x[3][2] == 20
#penjual 3 hanya butuh 80
m += x[0][3]+x[1][3]+x[2][3]+x[3][3] == 80
#penjual 4 hanya butuh 20
m += x[0][4]+x[1][4]+x[2][4]+x[3][4] == 20

#penjual 2 ingin menerima minimal 3 barang dari pabrik 1
m += x[1][2] >= 3

#pabrik 0 tidak memiliki akses mengirimkan barang ke penjual 0
m += x[0][0] == 0

m.optimize()
print(m.status)
print('minimum dari f objektif =',m.objective_value)

print('Variabel keputusan : ')
for i in range(4): 
    for j in range(5): 
        if(x[i][j].x>=0.5): print("x[",i,",",j,"]=",x[i][j].x,' dan cost[',i,',',j,'] =',cost[i][j])

OptimizationStatus.OPTIMAL
minimum dari f objektif = 623.0
Variabel keputusan : 
x[ 0 , 1 ]= 30  dan cost[ 0 , 1 ] = 4
x[ 1 , 0 ]= 10  dan cost[ 1 , 0 ] = 2
x[ 1 , 1 ]= 20  dan cost[ 1 , 1 ] = 2
x[ 1 , 2 ]= 3  dan cost[ 1 , 2 ] = 4
x[ 1 , 3 ]= 47  dan cost[ 1 , 3 ] = 5
x[ 2 , 3 ]= 10  dan cost[ 2 , 3 ] = 3
x[ 3 , 2 ]= 17  dan cost[ 3 , 2 ] = 2
x[ 3 , 3 ]= 23  dan cost[ 3 , 3 ] = 4
x[ 3 , 4 ]= 20  dan cost[ 3 , 4 ] = 2
In [5]:
#Definisikan matriks cost
#Biaya kirim pabrik 0 ke penjual 0 sangat mahal
#Tidak ingin mengirimkan barang karena biaya yang mahal.
cost=np.array([[100000,4,6,8,9],
            [2,2,4,5,5],
            [2,2,2,3,2],
            [3,3,2,4,2]])

m = mip.Model("Contoh Masalah Transportasi 1")
x = [[m.add_var(var_type=mip.INTEGER) for j in range(5)] for i in range(4)]

#m.objective = mip.minimize( 3*x[0][0]+ 4*x[0][1]+ 6*x[0][2]+ ... )
m.objective = mip.minimize( mip.xsum(cost[i][j]*x[i][j] for i in range(4) for j in range(5) ) )

#apa yang dikirim harus harus sama dengan kapasitas
m += x[0][0]+x[0][1]+x[0][2]+x[0][3]+x[0][4] == 30 # kendala pengiriman dari pabrik 0
m += x[1][0]+x[1][1]+x[1][2]+x[1][3]+x[1][4] == 80 # kendala pengiriman dari pabrik 1
m += x[2][0]+x[2][1]+x[2][2]+x[2][3]+x[2][4] == 10 # kendala pengiriman dari pabrik 2
m += x[3][0]+x[3][1]+x[3][2]+x[3][3]+x[3][4] == 60 # kendala pengiriman dari pabrik 3


#penjual 0 hanya butuh 10
m += x[0][0]+x[1][0]+x[2][0]+x[3][0] == 10
#penjual 1 hanya butuh 50
m += x[0][1]+x[1][1]+x[2][1]+x[3][1] == 50
#penjual 2 hanya butuh 50
m += x[0][2]+x[1][2]+x[2][2]+x[3][2] == 20
#penjual 3 hanya butuh 80
m += x[0][3]+x[1][3]+x[2][3]+x[3][3] == 80
#penjual 4 hanya butuh 20
m += x[0][4]+x[1][4]+x[2][4]+x[3][4] == 20

#penjual 2 ingin menerima minimal 3 barang dari pabrik 1
m += x[1][2] >= 3

m.optimize()
print(m.status)
print('minimum dari f objektif =',m.objective_value)

print('Variabel keputusan : ')
for i in range(4): 
    for j in range(5): 
        if(x[i][j].x>=0.5): print("x[",i,",",j,"]=",x[i][j].x,' dan cost[',i,',',j,'] =',cost[i][j])

OptimizationStatus.OPTIMAL
minimum dari f objektif = 623.0
Variabel keputusan : 
x[ 0 , 1 ]= 30  dan cost[ 0 , 1 ] = 4
x[ 1 , 0 ]= 10  dan cost[ 1 , 0 ] = 2
x[ 1 , 1 ]= 20  dan cost[ 1 , 1 ] = 2
x[ 1 , 2 ]= 3  dan cost[ 1 , 2 ] = 4
x[ 1 , 3 ]= 47  dan cost[ 1 , 3 ] = 5
x[ 2 , 3 ]= 10  dan cost[ 2 , 3 ] = 3
x[ 3 , 2 ]= 17  dan cost[ 3 , 2 ] = 2
x[ 3 , 3 ]= 23  dan cost[ 3 , 3 ] = 4
x[ 3 , 4 ]= 20  dan cost[ 3 , 4 ] = 2

Tidak ingin mengirimkan barang karena biaya yang mahal.
Untuk ini biaya pengiriman ditambahkan menjadi $c_{0,0}=100000$

Pabrik 0 masih bisa mengirimkan barang ke penjual 0, jika memang penjual 0 sangat menginginkan 2 barang yang berasal dari penjual 0 dengan biaya berapapun
Untuk ini tambahkan kendala $x_{0,0}=2$

In [6]:
#Definisikan matriks cost
#Biaya kirim pabrik 0 ke penjual 0 sangat mahal
#Tidak ingin mengirimkan barang karena biaya yang mahal.
cost=np.array([[100000,4,6,8,9],
            [2,2,4,5,5],
            [2,2,2,3,2],
            [3,3,2,4,2]])

m = mip.Model("Contoh Masalah Transportasi 1")
x = [[m.add_var(var_type=mip.INTEGER) for j in range(5)] for i in range(4)]

#m.objective = mip.minimize( 3*x[0][0]+ 4*x[0][1]+ 6*x[0][2]+ ... )
m.objective = mip.minimize( mip.xsum(cost[i][j]*x[i][j] for i in range(4) for j in range(5) ) )

#apa yang dikirim harus harus sama dengan kapasitas
m += x[0][0]+x[0][1]+x[0][2]+x[0][3]+x[0][4] == 30 # kendala pengiriman dari pabrik 0
m += x[1][0]+x[1][1]+x[1][2]+x[1][3]+x[1][4] == 80 # kendala pengiriman dari pabrik 1
m += x[2][0]+x[2][1]+x[2][2]+x[2][3]+x[2][4] == 10 # kendala pengiriman dari pabrik 2
m += x[3][0]+x[3][1]+x[3][2]+x[3][3]+x[3][4] == 60 # kendala pengiriman dari pabrik 3


#penjual 0 hanya butuh 10
m += x[0][0]+x[1][0]+x[2][0]+x[3][0] == 10
#penjual 1 hanya butuh 50
m += x[0][1]+x[1][1]+x[2][1]+x[3][1] == 50
#penjual 2 hanya butuh 50
m += x[0][2]+x[1][2]+x[2][2]+x[3][2] == 20
#penjual 3 hanya butuh 80
m += x[0][3]+x[1][3]+x[2][3]+x[3][3] == 80
#penjual 4 hanya butuh 20
m += x[0][4]+x[1][4]+x[2][4]+x[3][4] == 20

#penjual 2 ingin menerima minimal 3 barang dari pabrik 1
m += x[1][2] >= 3

#penjual 0 ingin menerima 2 barang dari pabrik 0 walaupun biayanya mahal
m += x[0][2] == 2


m.optimize()
print(m.status)
print('minimum dari f objektif =',m.objective_value)

print('Variabel keputusan : ')
for i in range(4): 
    for j in range(5): 
        if(x[i][j].x>=0.5): print("x[",i,",",j,"]=",x[i][j].x,' dan cost[',i,',',j,'] =',cost[i][j])

OptimizationStatus.OPTIMAL
minimum dari f objektif = 625.0
Variabel keputusan : 
x[ 0 , 1 ]= 28  dan cost[ 0 , 1 ] = 4
x[ 0 , 2 ]= 2  dan cost[ 0 , 2 ] = 6
x[ 1 , 0 ]= 10  dan cost[ 1 , 0 ] = 2
x[ 1 , 1 ]= 22  dan cost[ 1 , 1 ] = 2
x[ 1 , 2 ]= 3  dan cost[ 1 , 2 ] = 4
x[ 1 , 3 ]= 45  dan cost[ 1 , 3 ] = 5
x[ 2 , 3 ]= 10  dan cost[ 2 , 3 ] = 3
x[ 3 , 2 ]= 15  dan cost[ 3 , 2 ] = 2
x[ 3 , 3 ]= 25  dan cost[ 3 , 3 ] = 4
x[ 3 , 4 ]= 20  dan cost[ 3 , 4 ] = 2

Ada yang mau didiskusikan?
Silahkan hubungi Ridwan

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Fungsi Rekursif

-
Fungsi Rekursif ¶ Fungsi yang memanggil dirinya sendiri untuk melakukan perhitungan Faktorial Misalkan $f(n)$ menyatakan faktorial dari $n$, dengan $n$ adalah bilangan bulat lebih dari 1. Maka $f(n)=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ...\times 1$ Bisa juga dituliskan dalam bentuk rekursif, yaitu $f(n)=n\times f(n-1)$ Contoh : $f(5)=5\times 4\times 3\times 2\times 1$ $f(5)=5 \times f(4)$ $f(4)=4 \times f(3)$ $f(3)=3 \times f(2)$ $f(2)=2 \times f(1)$ In [1]: #Menghitung faktorial dari n, TANPA fungsi dan tanpa rekursif print ( "Masukkan bilangan bulat lebih dari 1 yang akan dihitung faktorialnya" ) n = int ( input ()) if ( n == 0 or n == 1 ): hasil = 1 else : hasil = n print ( "n saat ini =" , n , "-hasil saat ini" , hasil ) while n >= 2 : n = n - 1 hasil = hasil * n print ( "n saat ini =" , n , "-hasil saat ini" ,
Read more

Aljabar Python

-
Python dapat mengoprasikan Aljabar dengan bantuan library numpy. Sedikit operasi vektor dan matriks yang penting diketahui In [1]: import numpy as np import math Vektor ¶ Penting : Bedakan ketika menulis u=[1,2,3] dan u=np.array([1,2,3]) yang pertama adalah list, yang kedua adalah vektor Tampilan vektor pada python selalu tertulis menyamping , walaupun kita tambahkan transpose, tampilan akan tetap menyamping. Hal ini sangat penting dan harus berhati-hati. u=np.array([1,2,3]) artinya $\mathbb{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$, tampilan pada python u= [1 2 3] np.transpose(u)=$\mathbb{u}^T=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$, tampilan pada python u= [1 2 3] In [2]: u = [ 1 , 2 , 3 ] #ini adalah list, bukan vektor v = [ 4 , 5 , 6 ] #ini adalah list, bukan vektor print ( "List u=" , u ) print ( "List v=" , v ) print ( "Penjumlahan list : u+v
Read more

Pengolahan Matriks (manual)

-
Pengolahan Matriks dan Vektor ¶ Pada tulisan berikut, akan diberikan contoh algoritma dan program untuk mengolah matriks dan vektor tanpa menggunakan library atau fungsi yang sudah tersedia. Transpose Matriks ¶ Misalkan matriks $A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\end{bmatrix}$ Transpose dari matriks $A$ adalah $A^T=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\cdots&a_{m,1} \\a_{1,2}&a_{2,2}&\cdots&a_{m,2} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\a_{1,n}&b_{2,n}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}$, atau $B=\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\cdots&b_{1,m} \\b_{2,1}&b_{2,2}&\cdots&b_{2,m} \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\cdots&b_{n,m}\end{bmatrix}$ , untuk setiap $i\in\{1,2,...,m\}$ dan $j\in\{1,2,..
Read more

Metode Penalti

-
Metode Penalti ¶ --Catatan kuliah MA3071 20210802 Minimumkan $𝑓(𝐱)$ terhadap kendala $𝐱∈𝑆$ Dengan $𝑓$ merupakan fungsi yang kontinu pada $ℝ^𝑛$ dan $𝑆$ adalah himpunan kendala $𝑆=\{𝑥:h_i(𝐱)= 0,i=1,2,...,m\}$ Ide dari Metode penalti adalah mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi masalah optimisasi tanpa kendala, Kendala tersebut dikalikan dengan suatu konstanta positif (yang membesar) sehingga berfungsi menjadi suatu penalti pada masalah meminimumkan. Masalah dimodifikasi menjadi : Minimumkan $𝑓(𝐱)+𝑐𝑃(𝐱)$ Dengan $𝑐$ suatu konstanta positif dan $𝑃(𝐱)$ adalah fungsi pada $ℝ^𝑛$ yang memenuhi $𝑃(𝐱)$ fungsi kontinu $𝑃(𝐱)≥0$ untuk semua $𝐱∈ℝ^𝑛$ Biasanya dipilih fungsi penalti $\displaystyle 𝑃(𝐱)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}[ℎ_i(\mathbf{𝑥})]^2$ $𝑃(𝐱)=0$ jika dan hanya jika $𝐱∈𝑆$ Contoh ¶ Minimumkan $$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$$ Terhadap kendala $x_1+x_2-1=0$ =====================
Read more